Как решать задачи на проценты: понятное объяснение

Проценты встречаются с 5 класса и до ОГЭ, а потом — в каждом магазине и банке. Хорошая новость: задачи на проценты бывают всего нескольких типов, и у каждого — свой короткий способ. Разберём, как решать задачи на проценты по шагам: процент от числа, число по проценту, сколько процентов одно число составляет от другого, увеличение и уменьшение на процент и главную ловушку — несколько изменений подряд.

Что такое процент

Процент — это сотая часть числа. Знак % можно читать как «разделить на 100»:

• 1 % = 1/100 = 0,01;
• 15 % = 0,15;
• 50 % = 0,5 — половина;
• 25 % = 0,25 — четверть;
• 100 % — всё число целиком;
• 120 % = 1,2 — больше, чем всё число.

Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, сдвинь запятую на два знака влево: 7 % = 0,07, 35 % = 0,35. Обратно — на два знака вправо: 0,4 = 40 %.

Главный вопрос: что принято за 100 %?

Прежде чем считать, найди в условии число, от которого берутся проценты. Обычно это слова «от», «по сравнению с», «первоначальная цена», «всего». Это число — 100 %, база. Почти все ошибки в процентах — это перепутанная база.

Тип 1. Как найти процент от числа

Переведи процент в дробь и умножь на число.

Пример 1. В книге 240 страниц, Оля прочитала 15 % книги. Сколько страниц она прочитала?

240 · 0,15 = 36 страниц.

Можно рассуждать и через 1 %: 1 % от 240 — это 2,4; значит, 15 % — это 2,4 · 15 = 36. Способ длиннее, но хорошо показывает смысл.

Тип 2. Как найти число по его проценту

Известна часть и сколько процентов она составляет. Нужно найти целое. Здесь делим.

Пример 2. Петя накопил 42 рубля, это 30 % стоимости альбома. Сколько стоит альбом?

42 : 0,3 = 140 рублей.

Проверка: 30 % от 140 — это 140 · 0,3 = 42. Сходится.

Если делить на десятичную дробь неудобно, иди через 1 %: 42 : 30 = 1,4 рубля — это 1 %, а 100 % — 1,4 · 100 = 140.

Тип 3. Сколько процентов одно число составляет от другого

Раздели часть на целое и умножь на 100.

Пример 3. Из 72 задач Маша решила 18. Какой это процент?

18 : 72 = 0,25; 0,25 · 100 = 25 %.

Делим на то число, которое принято за 100 %. Здесь это все задачи, 72.

«На сколько процентов больше» и «на сколько процентов меньше»

Это тот же тип, но с подвохом. Пусть у Ани 60 наклеек, а у Бори 48. Разница — 12 наклеек.

• На сколько процентов у Ани больше, чем у Бори? База — Борины 48: 12 : 48 · 100 = 25 %.
• На сколько процентов у Бори меньше, чем у Ани? База — Анины 60: 12 : 60 · 100 = 20 %.

Разница одна и та же, а проценты разные, потому что сравниваем с разными числами. Смотри, кто стоит после слов «чем» или «по сравнению с», — это и есть 100 %.

Тип 4. Увеличение и уменьшение на процент

Если число увеличили на p %, новое число составляет (100 + p) % от старого. Если уменьшили — (100 − p) %.

Пример 4. Рюкзак стоил 1200 рублей, цену подняли на 15 %. Какая цена теперь?

Способ в два действия: 15 % от 1200 — это 180; 1200 + 180 = 1380 рублей.

Способ в одно действие: новая цена — 115 % от старой, 1200 · 1,15 = 1380 рублей.

Для уменьшения так же: скидка 20 % значит, что платишь 80 % цены, то есть умножаешь на 0,8.

Тип 5. Последовательные изменения — главная ловушка

Пример 5. Велосипед стоил 2000 рублей. Цену подняли на 25 %, а через месяц снизили на 25 %. Сколько он стоит теперь?

Хочется ответить «2000 — ведь подняли и снизили на одно и то же». Но это не так:

• после повышения: 2000 · 1,25 = 2500 рублей;
• после снижения: 2500 · 0,75 = 1875 рублей.

Велосипед подешевел на 125 рублей. Второе изменение считается от новой цены, а не от первоначальной: 25 % от 2500 больше, чем 25 % от 2000.

Поэтому проценты при нескольких изменениях подряд нельзя складывать. Нужно перемножать множители: 1,25 · 0,75 = 0,9375, то есть итог — 93,75 % от начальной цены.

В 9 классе так же считают вклады со сложными процентами. Если положить 10 000 рублей под 8 % годовых на два года и проценты добавляются к вкладу, через два года будет 10 000 · 1,08 · 1,08 = 11 664 рубля, а не 11 600.

Пропорция: один способ на все случаи

Если не хочется запоминать, где умножать, а где делить, записывай пропорцию. Пример 2:

Число	Проценты
42	30 %
x	100 %

x = 42 · 100 : 30 = 140.

Правило: произведения «крест-накрест» равны, поэтому неизвестное = произведение чисел по диагонали : оставшееся число.

Типичные ошибки

• Неверная база. Берут процент не от того числа. Особенно часто — в задачах «на сколько процентов больше/меньше». Причина — торопятся и не задают себе вопрос «что здесь 100 %?».
• Складывают последовательные изменения. «+25 % и −25 % = 0» — неверно, потому что второе изменение идёт от другого числа.
• Неверно переводят проценты в дробь. 5 % пишут как 0,5 вместо 0,05. Помогает проверка: 0,5 — это половина, а 5 % — совсем маленькая часть.
• Путают «найти процент от числа» и «найти число по проценту». Умножают там, где надо делить. Помогает прикидка: если известна часть, целое должно получиться больше неё.
• Забывают последнее действие. Нашли, что скидка — 180 рублей, и записали это в ответ, хотя спрашивали новую цену.

Как проверить себя

• Обратная задача. Нашёл, что альбом стоит 140 рублей? Посчитай 30 % от 140 — должно получиться 42.
• Прикидка. 15 % — это чуть меньше одной шестой. 36 от 240 — примерно шестая часть, похоже на правду. Если вышло 360 — ошибка в запятой.
• Здравый смысл. После скидки цена должна стать меньше, после повышения — больше. Часть не может быть больше целого, если процент меньше 100.
• Перечитай вопрос. Спрашивают «на сколько» или «сколько стало»? Это разные ответы.

Если всё равно не сходится, можно проверить решение по фото: сфотографируй условие и своё решение, сервис покажет, на каком шаге ошибка — например, где взята неверная база, — но пересчитывать будешь сам.

Проценты тесно связаны с дробями — повторить их можно в статье как решать дроби. Как разбирать условие текстовой задачи, рассказано в статье как решить задачу по математике.

Попробуй сам

1. Найди 35 % от 260.
2. 12 % числа равны 54. Найди это число.
3. Сколько процентов составляет 27 от 180?
4. Цена 850 рублей выросла на 40 %. Какой стала цена?
5. Телефон стоил 5000 рублей. Его подешевили на 10 %, а потом подорожили на 10 %. Сколько он стоит теперь?

Ответы для самопроверки

1. 91 (260 · 0,35).
2. 450 (54 : 0,12).
3. 15 % (27 : 180 · 100).
4. 1190 рублей (850 · 1,4).
5. 4950 рублей: 5000 · 0,9 = 4500, затем 4500 · 1,1 = 4950. Не 5000 — второе изменение считается от новой цены.