Как объяснить ребёнку, как решать уравнения?

Начните с вопроса «каким компонентом является x»: слагаемым, уменьшаемым, множителем. Для каждого компонента есть своё правило, и его удобно проверять на маленьких числах, например 2 + x = 5.

Обязательно ли делать проверку уравнения?

В начальной школе проверку обычно требуют записывать. Даже если не требуют, подставить ответ стоит всегда: это занимает полминуты и сразу показывает ошибку.

Почему при переносе меняется знак?

Перенос — это сокращённая запись того, что к обеим частям прибавили или из обеих частей вычли одно и то же число. Например, из 3x + 5 = 20 вычли 5 из обеих частей — слева пятёрка исчезла, справа появилось −5.

Что делать, если x получился дробным или отрицательным?

Это нормально для 6–7 класса: ответом может быть любое число. Главное — подставить его в исходное уравнение и убедиться, что равенство верное.

Как решать уравнения: простые и линейные, 2–7 класс

Уравнение — это равенство, в котором спрятано неизвестное число, обычно его обозначают буквой x. Решить уравнение — значит найти такое число, которое при подстановке вместо x делает равенство верным. Ниже — как решать уравнения по шагам: сначала простые уравнения 2–4 класса, потом линейные уравнения 6–7 класса со скобками и переносом. В каждом разделе — разобранные примеры и проверка.

Главный вопрос: чем является x?

Простые уравнения решаются не угадыванием, а по правилам. Прежде чем что-то считать, посмотри на уравнение и ответь себе: как называется x в этом действии? От ответа зависит, что делать дальше.

Действие	Названия компонентов	Как найти неизвестное
Сложение: a + b = c	слагаемое + слагаемое = сумма	Слагаемое = сумма − другое слагаемое
Вычитание: a − b = c	уменьшаемое − вычитаемое = разность	Уменьшаемое = разность + вычитаемое
		Вычитаемое = уменьшаемое − разность
Умножение: a · b = c	множитель · множитель = произведение	Множитель = произведение : другой множитель
Деление: a : b = c	делимое : делитель = частное	Делимое = частное · делитель
		Делитель = делимое : частное

Запоминать таблицу наизусть не обязательно. Если забыл правило, проверь его на маленьких числах: 2 + 3 = 5, значит 3 = 5 − 2. Отсюда видно, что слагаемое находят вычитанием.

Как решать простые уравнения (2–4 класс)

Пошаговый порядок

Прочитай уравнение и определи, какое действие в нём записано.
Назови, каким компонентом является x.
Вспомни правило для этого компонента и запиши новое действие.
Посчитай.
Сделай проверку: подставь найденное число вместо x.

Пример 1. Неизвестное слагаемое

x + 27 = 63

x — слагаемое. Чтобы найти слагаемое, из суммы вычитаем известное слагаемое:

x = 63 − 27 x = 36

Проверка: 36 + 27 = 63, 63 = 63 — верно.

Пример 2. Неизвестное вычитаемое

85 − x = 39

Здесь x стоит после минуса, значит это вычитаемое. Вычитаемое = уменьшаемое − разность:

x = 85 − 39 x = 46

Проверка: 85 − 46 = 39 — верно.

Сравни с уравнением x − 18 = 47. Тут x — уменьшаемое, его находят сложением: x = 47 + 18 = 65. Проверка: 65 − 18 = 47. Два похожих уравнения решаются разными действиями — поэтому так важен шаг «назови компонент».

Пример 3. Множитель, делимое и делитель

7 · x = 91. x — множитель: x = 91 : 7 = 13. Проверка: 7 · 13 = 91.
x : 6 = 14. x — делимое: x = 14 · 6 = 84. Проверка: 84 : 6 = 14.
96 : x = 8. x — делитель: x = 96 : 8 = 12. Проверка: 96 : 12 = 8.

Составные уравнения

В 3–4 классе появляются уравнения в два действия, например:

(x + 15) · 4 = 100

Смотри на последнее действие — здесь это умножение. Вся скобка (x + 15) — это множитель. Находим его:

x + 15 = 100 : 4 x + 15 = 25

Теперь получилось простое уравнение: x — слагаемое.

x = 25 − 15 x = 10

Проверка: (10 + 15) · 4 = 25 · 4 = 100 — верно.

Как решать линейные уравнения (6–7 класс)

Линейное уравнение — это уравнение, где x стоит в первой степени, а сам x может встречаться в обеих частях: например, 5x − 7 = 3x + 11. Правила про компоненты тут уже неудобны, используют другие приёмы.

Порядок действий

Раскрой скобки, если они есть.
Перенеси слагаемые с x в левую часть, а числа — в правую. При переносе через знак «=» знак слагаемого меняется на противоположный.
Приведи подобные: сложи все x между собой и все числа между собой.
Раздели обе части на число перед x (коэффициент).
Сделай проверку подстановкой в исходное уравнение.

Пример 4. Перенос слагаемых

5x − 7 = 3x + 11

Переносим 3x влево (было «+», станет «−»), а −7 вправо (станет «+»):

5x − 3x = 11 + 7 2x = 18 x = 18 : 2 x = 9

Проверка: левая часть 5 · 9 − 7 = 45 − 7 = 38, правая часть 3 · 9 + 11 = 27 + 11 = 38. Части равны — корень найден верно.

Пример 5. Уравнение со скобками

3(x − 4) = 2x + 5

Раскрываем скобки: число перед скобкой умножаем на каждое слагаемое внутри.

3x − 12 = 2x + 5 3x − 2x = 5 + 12 x = 17

Проверка: 3 · (17 − 4) = 3 · 13 = 39; 2 · 17 + 5 = 34 + 5 = 39. Верно.

Если перед скобкой стоит минус, знаки внутри меняются: −2(x − 3) = −2x + 6. Именно здесь чаще всего теряют знак.

Типичные ошибки

Путают вычитаемое и уменьшаемое. В уравнении 85 − x = 39 пишут x = 85 + 39. Так происходит, когда запоминают «минус меняем на плюс» вместо правила. Лечится одним вопросом: «x стоит до минуса или после?»
Забывают менять знак при переносе. Из 5x − 7 = 3x + 11 получают 5x − 3x = 11 − 7. Причина — переносят механически, не понимая, что на самом деле к обеим частям прибавили 7.
Раскрывают скобку не до конца. 3(x − 4) превращают в 3x − 4, умножив только первое слагаемое. Помогает правило: стрелочка от числа к каждому слагаемому в скобке.
Теряют минус перед скобкой. −2(x − 3) записывают как −2x − 6. Минус на минус даёт плюс: −2 · (−3) = 6.
Делят не на то число. Из −3x = 12 пишут x = 4, забыв про знак коэффициента. Правильно: x = 12 : (−3) = −4.
Делают проверку не в исходном уравнении, а в одной из промежуточных строк. Если ошибка случилась раньше этой строки, проверка её не поймает.

Как проверить себя

Проверка уравнения — это подстановка. Возьми самое первое уравнение из задания, впиши вместо x найденное число и отдельно посчитай левую и правую части. Если получились одинаковые числа — всё верно. Если разные — ошибка где-то в решении, и её стоит искать с начала: скобки, знаки при переносе, деление.

Ещё несколько приёмов:

Прикинь ответ: если в уравнении x + 27 = 63 у тебя x получился больше 63, ответ точно неверный — слагаемое не может быть больше суммы при положительных числах.
Для составных уравнений проверяй каждый шаг: правильно ли выбрано последнее действие.
Если сомневаешься в правиле, придумай пример на маленьких числах и посмотри, какое действие работает.

Если проверка не сходится, а найти ошибку не получается, можно проверить решение по фото: сфотографируй уравнение и своё решение, сервис покажет строку, где закралась ошибка, и подскажет, на что посмотреть. Исправлять и пересчитывать будешь сам — так правило лучше запоминается.

Уравнения часто встречаются внутри текстовых задач, об этом — в статье как решить задачу по математике. А если в уравнении появились дроби, пригодится разбор как решать дроби. Про проверку вычитания и сложения подробно — в статье как сделать проверку вычитания.

Попробуй сам

Реши уравнения и сделай проверку:

x + 48 = 90
120 : x = 15
(x − 9) · 3 = 36
4x + 9 = x + 30
2(x + 3) − 5 = 3x − 8

Ответы для самопроверки

x = 42 (слагаемое: 90 − 48). Проверка: 42 + 48 = 90.
x = 8 (делитель: 120 : 15). Проверка: 120 : 8 = 15.
x = 21. Скобка — множитель: x − 9 = 36 : 3 = 12, x = 12 + 9 = 21. Проверка: (21 − 9) · 3 = 36.
x = 7. 4x − x = 30 − 9, 3x = 21. Проверка: 4 · 7 + 9 = 37 и 7 + 30 = 37.
x = 9. 2x + 6 − 5 = 3x − 8, 2x + 1 = 3x − 8, 2x − 3x = −8 − 1, −x = −9. Проверка: 2 · 12 − 5 = 19 и 27 − 8 = 19.

Как решать уравнения: понятное объяснение с примерами