Как решать дроби: все действия по шагам

Дроби кажутся сложными, пока не видно, что всё держится на одном правиле и двух-трёх приёмах. Здесь разберём, как решать дроби по шагам: сокращение, приведение к общему знаменателю, сложение и вычитание, умножение и деление, смешанные числа. Каждый приём — с разобранным примером и проверкой.

Напомним обозначения: в дроби 3/8 число 3 — числитель (сколько частей взяли), 8 — знаменатель (на сколько равных частей разделили целое).

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число (не ноль), получится равная дробь:

• 3/4 = 6/8 = 9/12 (умножили на 2 и на 3);
• 18/24 = 3/4 (разделили на 6).

Это свойство — основа и для сокращения, и для приведения к общему знаменателю. Если запомнить только одну вещь из этой статьи, пусть это будет она.

Как сокращать дроби

Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на их общий делитель. Удобнее всего делить сразу на наибольший общий делитель (НОД).

Пример. Сократим 18/24. Делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Наибольший общий — 6.

18/24 = (18 : 6)/(24 : 6) = 3/4.

Если НОД сразу не видно, сокращай по шагам: 18/24 → на 2 → 9/12 → на 3 → 3/4. Результат тот же. Дробь сокращена до конца, когда у числителя и знаменателя не осталось общих делителей, кроме 1.

Общий знаменатель: как найти через НОК

Складывать и вычитать можно только дроби с одинаковыми знаменателями. Если знаменатели разные, дроби сначала приводят к общему знаменателю.

1. Найди НОК знаменателей — наименьшее число, которое делится на каждый из них.
2. Для каждой дроби найди дополнительный множитель: НОК раздели на её знаменатель.
3. Умножь числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

Как быстро найти НОК: выписывай кратные большего знаменателя, пока не попадёшь на число, которое делится на меньший. Для 6 и 8: кратные 8 — 8, 16, 24. 24 делится на 6 — значит, НОК = 24.

Как складывать и вычитать дроби

Пример 1. Сложение дробей с разными знаменателями

5/6 + 3/8

• НОК(6, 8) = 24.
• Дополнительные множители: 24 : 6 = 4 и 24 : 8 = 3.
• 5/6 = 20/24, 3/8 = 9/24.

20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.

Знаменатель при сложении не меняется — складываем только числители. 29/24 — неправильная дробь (числитель больше знаменателя), поэтому выделяем целую часть: 29 : 24 = 1 (остаток 5).

Пример 2. Вычитание дробей

7/10 − 4/15

• НОК(10, 15) = 30 (кратные 15: 15, 30; 30 делится на 10).
• 7/10 = 21/30, 4/15 = 8/30.

21/30 − 8/30 = 13/30. Сокращать нечего: у 13 и 30 нет общих делителей, кроме 1.

Как умножать и делить дроби

Умножение

Числитель умножают на числитель, знаменатель — на знаменатель. Общий знаменатель не нужен.

Пример 3. 4/9 · 15/16

Можно перемножить сразу: 60/144, а потом сокращать на 12 — получится 5/12. Но удобнее сократить до умножения, «крест-накрест»: 4 и 16 делятся на 4, 15 и 9 делятся на 3.

4/9 · 15/16 = (1 · 5)/(3 · 4) = 5/12.

Ответ тот же, а числа маленькие — меньше шансов ошибиться.

Деление

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, обратную делителю: вторую дробь переворачиваем, первую оставляем как есть.

5/8 : 15/32 = 5/8 · 32/15 = (1 · 4)/(1 · 3) = 4/3 = 1 1/3.

Здесь сократили 5 и 15 на 5, 8 и 32 на 8.

Смешанные числа

Смешанное число — это целая часть плюс дробь, например 3 1/4. Чтобы перевести его в неправильную дробь, целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель: 3 1/4 = (3 · 4 + 1)/4 = 13/4.

Пример 4. Вычитание смешанных чисел

3 1/4 − 1 2/3

Переводим в неправильные дроби: 13/4 и 5/3. НОК(4, 3) = 12.

13/4 − 5/3 = 39/12 − 20/12 = 19/12 = 1 7/12.

Можно решать и по частям — целые отдельно, дроби отдельно, — но тогда в этом примере придётся «занимать» единицу, потому что 1/4 меньше 2/3. Перевод в неправильные дроби надёжнее.

Умножение смешанных чисел

Только через неправильные дроби:

2 1/3 · 1 1/2 = 7/3 · 3/2 = 7/2 = 3 1/2.

Типичные ошибки

• Складывают числители и знаменатели. 1/2 + 1/3 = 2/5 — неверно. Достаточно посмотреть: 2/5 меньше, чем 1/2, а мы к 1/2 ещё что-то прибавили. Правильно: 3/6 + 2/6 = 5/6. Ошибка появляется, когда правило умножения переносят на сложение.
• Ищут общий знаменатель при умножении. Лишняя работа, которая часто ещё и приводит к путанице. Общий знаменатель — только для сложения и вычитания.
• Умножают целое число и на числитель, и на знаменатель. 3 · 2/5 записывают как 6/15. Но 6/15 = 2/5, то есть ничего не изменилось. Целое число умножают только на числитель: 3 · 2/5 = 6/5.
• Переворачивают не ту дробь при делении. Переворачивается только делитель — дробь, стоящая после знака «:».
• Умножают смешанные числа по частям. 2 1/3 · 1 1/2 ≠ 2 · 1 + 1/3 · 1/2. Так получится 2 1/6 вместо верных 3 1/2. Целые и дробные части при умножении «переплетаются», поэтому сначала переводим в неправильные дроби.
• Забывают сократить ответ. 10/24 вместо 5/12 — математически не ошибка, но в школе такой ответ часто не засчитывают полностью.

Как проверить себя

• Прикидка. 5/6 + 3/8 — это «почти единица плюс почти половина», ответ должен быть чуть больше 1. Наш 1 5/24 подходит.
• Обратное действие. Сложение проверяй вычитанием: 29/24 − 3/8 = 29/24 − 9/24 = 20/24 = 5/6. Деление — умножением: 4/3 · 15/32 = 60/96 = 5/8.
• Сравнение с половиной и единицей. Если результат вычитания больше уменьшаемого или произведение двух правильных дробей больше каждой из них — где-то ошибка.
• Финальная проверка сокращения. Есть ли у числителя и знаменателя общий делитель? Если да — сократи.

Если ответ не сходится с учебником, а найти ошибку не получается, можно проверить решение по фото: сфотографируй задание и свои записи, сервис покажет шаг с ошибкой и подскажет, на что обратить внимание. Пересчитаешь сам — так правило запоминается лучше, чем при списывании ответа.

Дроби дальше понадобятся в процентах — разбор в статье как решать задачи на проценты — и в уравнениях: как решать уравнения. Если математика вообще даётся тяжело, родителям может пригодиться статья ребёнок не понимает математику.

Попробуй сам

1. Сократи дробь 35/56.
2. Вычисли 2/9 + 5/12.
3. Вычисли 4 1/6 − 2 3/4.
4. Вычисли 9/14 · 7/12.
5. Вычисли 2 2/5 : 3/10.

Ответы для самопроверки

1. 5/8 (НОД = 7).
2. 23/36. НОК(9, 12) = 36: 8/36 + 15/36.
3. 1 5/12. 25/6 − 11/4 = 50/12 − 33/12 = 17/12.
4. 3/8. Сократи 9 и 12 на 3, 7 и 14 на 7: (3 · 1)/(2 · 4).
5. 8. 12/5 · 10/3 = 120/15 = 8.